直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之五

圆锥曲线系列

本系列前面四篇文章分别讲述了圆锥曲线的方程、定义、焦点三角形、点差法等基本内容。这些只是“饭前甜点”，从本节起，开始进入解析几何最核心也是最基本的内容里面：计算！特别是字母运算。这才是解析几何的“正餐”！

解析几何最大的特点就是含有大量复杂的字母运算，这对于初学者是最大的障碍。这里必须要踏踏实实、认认真真的做上一些经典的题目才能真正掌握其中的运算技巧、积累运算经验、增加解题信心。

运算的基本功就是联立方程，韦达定理。这说起来似乎很简单，但是运用之妙、存乎一心。在具体的题目中还是要考虑各种具体的运算技巧，例如用哪种形式的直线方程，如何利用条件减少运算量等，还是要积累相当多经验才能知道具体哪一类问题要用哪种方法。

这方面的辅导资料虽然很多，但是往往要么过于杂乱，只是高考真题的简单堆砌，没有本质的逻辑联系，而且讲不清楚每个问题的本质和与其他问题的联系。再一个高考真题往往是具体的数字，这样会让背后的结论淹没在具体的数字中，而且容易让人只见树木不见森林，所以本专题的题目都是对一般的椭圆的结果，不涉及具体的数字。如果熟练掌握了这些一般性的结论，对于具体的数字当然就可以秒杀，一眼看出最终的结果了。还有一些辅导资料虽然总结了很多圆锥曲线的一般性质，却又有点贪多求全，动辄几十上百条性质，却只是杂乱的结论的堆积，没有理清楚问题的来龙去脉，先后顺序。往往让初学者望而生畏、无从入手。

这个专题具体又分为6个小专题，我按照直线与椭圆相切、相离、相交三种关系，通过自己的积累，提取了50个经典的直线与椭圆位置关系的问题模型。这些都是从常见高考、自招、竞赛等题目中抽象出来，对于一般的椭圆得到的有趣结果，而且都是很典型的问题。有些问题之间往往有着本质的联系，单独解决起来比较复杂，但是有了一些基本的结论，熟悉了套路以后往往简单很多。希望初学者按照其中脉络先一步步自行推导相应结果，然后再对照我的结果对比得失。相信做完这50个题目，你会很快对解析几何上手的。

第一节主要解决以下直线与椭圆相切的以下9个问题，为了行文方便，正文中不再具体写出题目序号和内容，只是将各题的序号标在答案处。

注：上述判别式虽然开始形式比较复杂，但是化简完结果还是非常漂亮简洁的。这是直线与圆锥曲线联立的第一步，也是运算的必经之路。有些学生直接把最终答案背下来，考试时候直接默写出来。如果记忆准确，当然是能提升运算速度的。不过我一般不提倡死记硬背，我自己也不刻意背诵。我觉得只要记住最终结果的大概形式，多运算几次就能记住了。在考试的时候建议还是算一遍比较保险，毕竟容易记错。而且熟能生巧，多练习才能真正提升解析几何的内功——计算能力！